Transiciones de Fase
Los materiales magnéticos están formados por pequeños imanes a escala atómica. Estos imanes interaccionan entre sí, cuando están muy próximos, tendiendo a alinearse (materiales ferromagnéticos). Por otra parte, la agitación térmica tiene el efecto contrario, tiende a desordenar dicha la alineación. A temperaturas suficientemente bajas, la interacción ferromagnética vence produciendo consecuencias dramáticas: la mayor parte de los imanes del sistema (!quizá cuatrillones!) se alinean creando un imán macroscópico. Este cambio abrupto se llama transición de fase y, a la temperatura a la que se produce, temperatura de Curie. Este fenómeno físico tiene la notable propiedad de presentar fluctuaciones a todas las escalas: en el punto crítico hay regiones del material magnetizadas y otras no, pero los tamaños de estas regiones van desde unos pocos átomos hasta la escala macroscópica (cuatrillones de átomos).
Poder entender un fenómeno que pone en juego tantas escalas en un reto para la Física, que normalmente se restringe a estudiar un estrecho rango de tamaños (nanómetros cuando se estudian los átomos, kilómetros cuando se estudian las nubes, años luz cuando se estudian cúmulos de estrellas, etc.). Esta mezcla de escalas tiene propiedades muy sorprendentes en cuyo estudio se trabaja intensamente. Quizá una de las más importantes es la de la Universalidad, que hace que sistemas muy diferentes a la escala más pequeña, compartan exactamente algunas cantidades macroscópicas como los llamados exponentes críticos.
Un ejemplo de lo anterior es un fluido en el punto de ebullición, que está relacionado con ciertos sistemas magnéticos (en los que los imanes, debido a la interacción con la red cristalina, sólo pueden tomar dos valores). Existe un modelo para los fluidos, llamado gas reticular, que consiste en una red en cuyos nudos puede haber o no, una partícula. La interacción entre esas partículas tiende a agruparlas en posiciones contiguas en la red (como las regiones magnetizadas en los sistemas ferromagnéticos), mientras que la temperatura tiene el efecto contrario. Existe una temperatura (precisamente el punto de ebullición) a la que se produce una transición de fase entre un estado líquido y uno de vapor. En determinadas condiciones de presión (punto tricrítico) esta transición de fase comparte propiedades con los sistemas magnéticos con dos estados microscópicos. Por ejemplo, la longitud media del tamaño de las regiones crece como una potencia de la diferencia entre la temperatura y la temperatura critica. Esa potencia coincide dentro de la precisión de todos los experimentos, así como de los cálculos teóricos realizados hasta la fecha, y hay razones teóricas muy sólidas para esperar que la coincidencia sea exacta.
Modelos y Simulaciones
La coincidencia de propiedades entre sistemas físicos muy distintos, o incluso entre sistemas físicos reales y modelos matemáticos, hace que sea posible llevar a cabo estudios teóricos muy interesantes en modelos simplificados. Antes se mencionó el modelo del gas reticular para el estudio de la transición líquido vapor. Quizá el modelo más conocido, y más estudiado, es el de Ising para sistemas ferromagnéticos. En él, el constituyente fundamental es el llamado "espín" (que representaría un pequeño imán) y que puede tomar sólo dos valores: +1 o -1. Estos espines se sitúan en los nudos de una red y se estudia el sistema estadístico formado por multitud de estos espines que interaccionan entre sí sólo cuando están muy próximos (por ejemplo su energía es -1 si dos espines contiguos son iguales y +1 si son distintos). Para añadir el efecto de la temperatura, se considera la llamada colectividad canónica (sistema en un baño térmico) que básicamente consiste en asumir que una configuración de espines tiene una probabilidad de aparecer dependiente de su energía (esta probabilidad es proporcional al llamado factor de Boltzmann que se calcula como la exponencial de la energía total dividida por la temperatura).
Para resolver un modelo como el anterior, y extraer toda la información relevante desde el punto de vista físico, "bastaría" considerar todas las posibles configuraciones. En casos excepcionales, como el del modelo de Ising en dos dimensiones, es posible llevar a cabo cálculos exactos, pero normalmente esto es inviable. Existen también técnicas aproximadas que permiten extraer información más o menos precisa.
Una opción interesante sería, dado un sistema suficientemente pequeño, hacer la suma de todas las posibles configuraciones, obteniéndose consecuentemente resultados exactos. Pero esta vía es difícilmente practicable. Un sistema muy modesto de 1000 espines (red cúbica de lado 10) tiene 2 elevado a 1000 estados posibles ( o 10 elevado a 300) que es una cantidad enorme (el número de átomos en el universo observable no supera 10 elevado a 80).
Métodos de Montecarlo
Los métodos de Montecarlo se suelen plantear cuando el problema a resolver es tan difícil que ningún otro método es aplicable. Considerar un número de configuraciones de 2 elevado a miles (o en muchos casos a un millón) es completamente inviable. Sin embargo, el método de Montecarlo aporta la solución: no considerar todas las configuraciones, sino una "muestra representativa".
La tarea de un método de Montecarlo consiste en obtener, mediante un ordenador, esta muestra representativa. Como sabemos que la probabilidad de que aparezca una configuración debe ser proporcional al factor de Boltzmann, mencionado antes, debemos elegir nuestra selección de configuraciones según esa distribución de probabilidad.
Construir un algoritmo de Montecarlo suele ser más fácil de lo que uno podría temer, aunque esto no es el final del problema. La generación de configuraciones puede llegar a ser computacionamente muy exigente.
Las exigencias computacionales pueden provenir de varias fuentes:
1) Propiedades microscópicas. Hemos mencionado el modelo de Ising, que es el más sencillo a nivel microscópico. Pero el estudio de otros sistemas físicos requiere a veces modelos mucho más sofisticados.
2) Tamaños de los sistemas. En un ordenador sólo podemos considerar sistemas pequeños, pero estamos interesados en el comportamiento de sistemas macroscópicos (cuatrillones de átomos). Cuanto mayores sean los sistemas tratados, más cerca estaremos del comportamiento macroscópico, pero mayores serán las exigencias computacionales.
3) Numero de muestras. Si consideráramos todos los estados posibles, el resultado obtenido sería exacto. El método de Montecarlo se utiliza dada la imposibilidad de considerarlos todos. El hecho de trabajar sólo con una muestra, introduce errores estadísticos que hay que tener en cuenta: los resultados nunca serán exactos. Sin embargo, los errores estadísticos se pueden disminuir tanto como se quiera "simplemente" aumentando el número de configuraciones (el error decrece como 1 dividido por la raíz cuadrada del número de configuraciones generadas). Es decir, si queremos obtener un número 10 veces más preciso, "basta" emplear 100 veces más potencia de cálculo.
Limite Termodinámico
Se llama límite termodinámico a la extrapolación del comportamiento de un sistema al caso de tamaño infinito. En la práctica, uno no está interesado en sistemas infinitos, pero un sistema macroscópico de un cuatrillón de átomos puede considerarse infinito en muchos aspectos.
En un cálculo de Montecarlo, desde luego que no puede llegarse a trabajar con un cuatrillón de constituyentes. En una memoria de ordenador, típicamente caben mil millones de números, pero ni siquiera esa cantidad es manejable. Un máximo razonable está en torno al millón de constituyentes (espines en el lenguaje del modelo de Ising).
Hacer la extrapolación de volumen infinito requiere un estudio minucioso de cómo cambian las propiedades al ir aumentando, modestamente, el tamaño del sistema. Así, un estudio de Montecarlo riguroso requiere estudiar sistemas de diferentes tamaños para poder obtener información de lo que sucedería en un sistema infinito (o más propiamente de tamaño macroscópico).
Orden de las transiciones
Las transiciones de fase constituyen uno de los fenómenos más espectaculares de la naturaleza. Elementos pequeños (como átomos o moléculas), que sólo interaccionan entre sí cuando están muy próximos, cooperan cuando las condiciones externas (presión, temperatura, campo magnético, etc.) son propicias, dando lugar a comportamientos colectivos macroscópicos con propiedades sorprendentes.
Aparte de ser enormemente interesantes desde el punto de vista teórico, las transiciones de fase juegan un papel importantísimo incluso en la vida cotidiana. El conocimiento preciso de estas transiciones es crucial en muchas áreas de la tecnología entre las que podríamos citar la magnetorresistencia en los discos duros de ordenador, la superconductividad, los nuevos materiales, etc.
En principio, la mayor parte de las transiciones de fase que aparecen en la naturaleza son de primer orden. Éstas se caracterizan porque alguna de sus propiedades (energía, densidad, magnetización, conductividad, ...) sufre un salto en el punto de transición (discontinuidad).
Normalmente, para estudiar un sistema en el laboratorio se intenta que éste sea lo más puro posible. Pero uno se plantea qué le ocurre al sistema si se consideran impurezas (algo casi ubicuo en la naturaleza).
En principio, se espera que una transición de fase discontinua (primer orden) en un sistema puro, se suavice en cierta medida cuando se consideran impurezas (vacantes en una red cristalina, impurezas de un material no magnético, etc) pudiendo incluso convertirse en una transición de segundo orden.
Las propiedades de una transición de segundo orden, cerca de la temperatura de transición, difieren enormemente de las correspondientes a una transición de primer orden. Por ello es de gran importancia, particularmente desde el punto de vista tecnológico, saber qué influencia pueden tener las impurezas.
Modelo de Potts diluido
Uno de los modelos más simples en donde puede estudiarse éste fenómeno es el modelo de Potts diluido.
El modelo de Potts es una generalización del modelo de Ising en el que los espines pueden tomar más de 2 estados distintos. En tres dimensiones, cuando el número de estados es 3 o mayor, aparece una transición de fase de primer orden, tanto más fuerte (mayor salto en la energía y magnetización) cuanto mayor es el numero de estados.
Hemos realizado un primer estudio del modelo de Potts con 4 estados, que presenta una transición de primer orden notablemente fuerte si el sistema es puro. Sin embargo, basta introducir suficientes impurezas (en la práctica simplemente quitamos aleatoriamente algunos espines de la red) para que la transición se convierta en segundo orden. Lo sorprendente es que una cantidad pequeñisima de impurezas (un 4%) basta para cambiar el orden (http://xxx.unizar.es/abs/0711.0856)
El trabajo que queremos llevar a cabo en Ibercivis consiste en el estudio del modelo con 8 estados en el que la transición es aún más fuerte, lo que permitirá estudiar con más detalle el punto en el que las impurezas cambian el orden de la transición (punto tricrítico).
Como en la práctica no es posible trabajar con sistemas muy grandes (con Ibercivis el máximo previsto es de 2 millones de espines), la alternativa es obtener resultados muy precisos en sistemas de diferentes tamaños para poder hacer la extrapolación del límite termodinámico.
Explicación de las figuras
A continuación mostramos varias figuras un modelo de Potts puro con 4 estados en una red cúbica de lado 128.
Para representar el sistema tridimensional consideramos la proyección de todos los espines sobre un plano. De los 4 estados posibles de espines uno lo coloreamos en rojo, otro en verde y otro en azul. El cuarto lo consideramos negro. En la proyección hacemos la suma de los espines de tal modo que si hay muchos rojos, el color será rojo intenso, etc. Cerca de la transición, encontramos configuraciones en las que una buena parte de los espines ha tomado el mismo valor. Para aumentar la visibilidad, se elige el negro para el espín mayoritario.
La primeras 3 figuras corresponden a un modelo puro cerca de la transición para mostrar la coexistencia de fases. En la primera se muestra una configuración con una burbuja magnetizada, en la segunda (con energía un poco menor) aparece un banda magnetizada separada, por una interfase, de una banda no magnetizada. Si la energía es aún menor, queda una burbuja no magnetizada en un volumen magnetizado. La cuarta figura corresponde a un sistema con un 10% de dilución, caso en el que la transición de fase es de segundo orden. Aquí no aparecen bandas ni burbujas (no hay coexistencia de fases). En cambio, se aprecian regiones magnetizadas de todos los tamaños (invariancia de escala).
